Question

15．在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的$\frac{2}{3}$，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的污垢的2%．该洗衣机至少要清洗的次数为4．

Answer 1

分析 仔细阅读题目便可发现存留污垢y是以a为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式，列出漂洗次数n与存留污垢y的关系式，解不等式便可得出答案．

解答 解：设原有污垢为为a，漂洗n次后，存留污垢为y，
由题意可知：漂洗一次后存留污垢y₁=（1-$\frac{2}{3}$）a=$\frac{1}{3}$a，
漂洗两次后存留污垢y₂=（1-$\frac{2}{3}$）²a=（$\frac{1}{3}$）²a，
…
漂洗n次后存留污垢y_n=（1-$\frac{2}{3}$）ⁿa=（$\frac{1}{3}$^）na，
若使存留的污垢不超过原有的2%，
则有y_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿa≤2%•a，
解不等式得n≥4，
故该洗衣机至少要清洗的次数为4次．
故答案为：4．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了学生的审题及建模能力，属于基础题．