Question

7．已知a，b，c∈R+，则（$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{a}$）（$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$）≥9．

Answer 1

分析 由多项式的乘法展开重新组合为3+（$\frac{ac}{{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{ac}$）+（$\frac{ab}{{c}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{ab}$）+（$\frac{bc}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{bc}$），三个括号同时用基本不等式可得．

解答 解：∵a，b，c∈R+，∴（$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{a}$）（$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$）
=1+$\frac{ac}{{b}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{bc}$+$\frac{{b}^{2}}{ac}$+1+$\frac{ab}{{c}^{2}}$+$\frac{bc}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{ab}$+1
=3+（$\frac{ac}{{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{ac}$）+（$\frac{ab}{{c}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{ab}$）+（$\frac{bc}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{bc}$）
≥3+2$\sqrt{\frac{ac}{{b}^{2}}•\frac{{b}^{2}}{ac}}$+2$\sqrt{\frac{ab}{{c}^{2}}•\frac{{c}^{2}}{ab}}$+2$\sqrt{\frac{bc}{{a}^{2}}•\frac{{a}^{2}}{bc}}$=9
当且仅当$\frac{ac}{{b}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{ac}$且$\frac{ab}{{c}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{ab}$且$\frac{bc}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{bc}$即a=b=c时，
原式取到最小值9
故答案为：9

点评 本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．