Question

12．在△ABC中，p：△ABC是等边三角形，q：a：b：c=sinB：sinC：sinA，则p是q的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 p：△ABC是等边三角形，可得：q：a：b：c=sinB：sinC：sinA．反之可得：a：b：c=b：c：a，即$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{c}$=$\frac{c}{a}$，a²=bc，b²=ac，c²=ab，
再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形求值即可得出．

解答 解：p：△ABC是等边三角形，可得：q：a：b：c=sinB：sinC：sinA．
反之可得：a：b：c=b：c：a．∴$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{c}$=$\frac{c}{a}$．
∴a²=bc，b²=ac，c²=ab，
利用余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{2bc-bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴$A≤\frac{π}{3}$，同理可得：$B≤\frac{π}{3}$，C$≤\frac{π}{3}$，
∴A=B=C=$\frac{π}{3}$．
∴p是q的充要条件．　
故选：C．

点评 本题考查了充要条件的判定方法、余弦定理、基本不等式的性质、三角形求值，考查了推理能力，属于中档题．