Question

12．已知函数f（x）=|x-1|+|x+a|，其中a为实常数．
（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，不等式|x-2|≥f（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的最小值，得到|a+1|=2，解出a的值即可；（Ⅱ）问题转化为|x+a|≤1，求出x的范围，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-1|+|x+a|≥|（x-1）-（x+a）|=|a+1|，
当且仅当（x-1）（x+a）≤0时取等号，
∴f（x）_min=|a+1|，
由|a+1|=2，解得：a=1或a=-3；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，f（x）=-x+1+|x+a|，
而|x-2|=-x+2，
由|x-2|≥f（x）恒成立，
得-x+2≥-x+1+|x+a|，
即|x+a|≤1，解得：-1-a≤x≤1-a，
由题意得[0，1]⊆[-1-a，1-a]，
则$\left\{\begin{array}{l}{-1-a≤0}\\{1-a≥1}\end{array}\right.$，即-1≤a≤0．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查了分类讨论思想，是一道中档题．