Question

6．如图，圆O的半径为$\sqrt{2}$，A，B为圆O上的两个定点，且∠AOB=90°，P为优弧$\widehat{AB}$的中点，设C，D（C在D右侧）为优弧$\widehat{AB}$（不含端点）上的两个不同的动点，且CD∥AB，记∠POD=α，四边形ABCD的面积为S．
（1）求S关于α的函数关系；
（2）求S的最大值及此时α的大小．

Answer 1

分析 （1）求出O到AB和CD的距离，AB与CD的长，代入梯形面积公式，可得S关于α的函数关系；
（2）结合正弦函数的图象和性质及二次函数的图象和性质，可得S的最大值及最大值点．

解答 解：（1）如下图所示：

∵圆O的半径为$\sqrt{2}$，A，B为圆O上的两个定点，且∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=2，O到AB的距离d=1，
若∠POD=α，则CD=2$\sqrt{2}$sinα，O到CD的距离h=$\sqrt{2}$cosα，
故S=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$sinα+2）（$\sqrt{2}$cosα+1）
=2sinαcosα+$\sqrt{2}$（sinα+cosα）+1
=（sinα+cosα）²+$\sqrt{2}$（sinα+cosα）
=2sin²（α+$\frac{π}{4}$）+2sin（α+$\frac{π}{4}$）．
（2）令t=sin（α+$\frac{π}{4}$）．则S=2t²+2t，t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∵S=2t²+2t的图象是开口朝上，且以直线t=-$\frac{1}{2}$为对称的抛物线，
故当t=1，即α=$\frac{π}{4}$时，S取最大值4．

点评 本题主要考查了函数的解析式的求法，函数的最值及其几何意义，二次函数的图象和性质，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想和转化思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．