Question

【题目】某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．

（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？

（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．

Answer 1

【答案】（1）16天（2）

【解析】

(1)由题意首先得到该药剂在水中释放的浓度的解析式，然后求解不等式即可确定自来水达到有效净化一共可持续的天数.

（2）由确定各段的单调性，求出值域，然后将原问题转化为恒成立的问题可得m的最小值.

（1）由题意，当药剂质量为m=4，所以

当时，显然符合题意．
当x＞4时，解得，

综上，

所以自来水达到有效净化一共可持续16天．
（2）由，得：

在区间（0，4]上单调递增，即；
在区间（4，7]上单调递减，即，
综上，
为使恒成立，只要且即可，

即所以应该投放的药剂质量m的最小值为