【题目】已知长度为的线段
的两个端点
、
分别在
轴和
轴上运动,动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点且斜率不为零的直线
与曲线
交于两点
、
,在
轴上是否存在定点
,使得直线
与
的斜率之积为常数.若存在,求出定点
的坐标以及此常数;若不存在,请说明理由.
【答案】(1).(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)设,
,
,由
,可得
由
,所以
代入即可求得椭圆方程;
(2)由题意设直线的方程为:
,
,
,
将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式求得则
,因此存在两个定点,
,使得直线
与
的斜率之积为常数,使得
与
的斜率之积为常数.
试题解析:(1)设,
,
,
由于,所以
,
即,所以
,
又,所以
,从而
.
即曲线的方程为:
.
(2)由题意设直线的方程为:
,
,
,
由得:
,
所以.
故
,
,
假设存在定点,使得直线
与
的斜率之积为常数,则
.
当,且
时,
为常数,解得
.
显然当时,常数为
;当
时,常数为
,
所以存在两个定点,
,使得直线
与
的斜率之积为常数,当定点为
时,常数为
;当定点为
时,常数为
.
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【题目】已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和为S3=.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.
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【题目】已知四边形为矩形,
,
为
的中点,将
沿
折起,得到四棱锥
,设
的中点为
,在翻折过程中,得到如下有三个命题:
①平面
,且
的长度为定值
;
②三棱锥的最大体积为
;
③在翻折过程中,存在某个位置,使得.
其中正确命题的序号为__________.(写出所有正确结论的序号)
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【题目】某地发生地质灾害,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足,其中
,当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.
(1)如果投放的药剂质量为m=4,试问自来水达到有效净化一共可持续几天?
(2)如果投放的药剂质量为m,为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m的最小值.
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【题目】某公司研发芯片耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入(平万元)与投入的资金x(千万元)成正比,已知每投入1千万元,获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入
(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为
,其图像如图所示.
(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入与投入资金的函数关系式.
(2)如果公司只生产一种芯片,生产哪种芯片毛收入更大?
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,设投入x千万元生产B芯片,用表示公司所获利润,当x为多少时,可以获得最大利润?并求最大利润.(利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)
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【题目】某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为,三月底测得凤眼莲覆盖面积为
,凤眼莲覆盖面积
(单位:
)与月份
(单位:月)的关系有两个函数模型
与
可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式;
(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积倍以上的最小月份.
(参考数据,
)
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【题目】在古代,直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理,证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 ),4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中“弦实”为16,“朱实一”为,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计),则其落入小正方形内的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数,
),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)已知点是曲线
上一点,若点
到曲线
的最小距离为
,求
的值.
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