【题目】已知函数.
(1)讨论的导函数的零点个数;
(2)当时,证明: .
【答案】(Ⅰ) 当或时, 有一个零点;当时, 没有零点;(Ⅱ)详见解析.
【解析】试题分析:(1),所以当或时, 有一个零点;当时, 没有零点;(2)时, 在单调递增,在单调递减,最大值,所以原题等价于,即,设,求导得到最大值为,即.
试题解析:
(Ⅰ) 的定义域为,
若,由, 没有零点;
若或,由, , , 有一个零点;
若,由, , 没有零点.
综上所述,当或时有一个零点;当时没有零点.
(Ⅱ)由(1)知, , 时
当时, ;当时, .
故在单调递增,在单调递减.
所以在取得最大值,
最大值,
即.
所以等价于,
即,其中.
设,则.
当时, ;当时, .
所以在单调递增,在单调递减.
故当时取得最大值,最大值为
所以当时, .
从而当时,
即.
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【题目】一种电路控制器在出厂时,每3件一等品应装成一箱,工人装箱时,不小心将2件二等品和1件一等品装入了一箱,为了找出该箱中的二等品,对该箱中的产品逐件进行测试,假设检测员不知道该箱产品中二等品的具体数量,求:
(1)仅测试2件就找到全部二等品的概率;
(2)测试的第2件产品是二等品的概率;
(3)到第3次才测试出全部二等品的概率.
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【题目】如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为矩形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:
直线BE与直线CF异面;直线BE与直线AF异面;直线平面PBC;平面平面PAD.
其中正确的结论个数为
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
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【题目】已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动,动点满足,设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、,在轴上是否存在定点,使得直线与的斜率之积为常数.若存在,求出定点的坐标以及此常数;若不存在,请说明理由.
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【题目】记分别为函数的导函数.若存在,满足且,则称为函数与的一个“S点”.
(1)证明:函数与不存在“S点”;
(2)若函数与存在“S点”,求实数a的值;
(3)已知函数,.对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在“S点”,并说明理由.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx–2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
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【题目】(2016高考新课标II,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
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