Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，PD=AD，CD=1，AB=2，E是PB中点，点E在平面ACP上的射影是△ACP
的重心G．
（1）求PB与平面ACP所成角的正弦值；
（2）求二面角B-AC-E的平面角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：计算题,空间角

分析：（1）连结PG，则PG是PE在面ACP的射影，即∠EPG是PB与平面ACP所成的角，求出EG，PE，即可求PB与平面ACP所成角的正弦值；
（2）点E作底面ABCD的垂线，垂足为H，过点E作AC的垂线，垂足为I，连接HI，则∠HIE即为二面角B-AC-E的平面角，求出EH，EI，即可求二面角B-AC-E的平面角的正弦值．

解答： 解：（1）连结PG，则PG是PE在面ACP的射影，
即∠EPG是PB与平面ACP所成的角．
设F为PA中点，连结EF、FD，
∵E，F分别是PA，PB的中点，底面ABCD是直角梯形，
∴EF∥CD，EF=CD，
∵CD⊥平面PAD，
∴DCEF为矩形，∴G∈CF.
∵EF=1，∴FC=

3

.
∴EC=

2

，EG=

1× 2

3

=

6

3

，
∵PE=

3

，
∴sin∠EPG=

EG

PE

=

2

3

；
（2）过点E作底面ABCD的垂线，垂足为H，则EH∥PD，且EH=1．
过点E作AC的垂线，垂足为I，连接HI，则∠HIE即为二面角B-AC-E的平面角．
由于CE∥DF，而DF⊥面PAB，∴CE⊥AE，CE⊥PB，则CE=

2

，AE=

3

，
∴EI=

2 3

5

=

30

5

，
∴sin∠HIE=

EH

EI

=

1

30 5

=

30

6

∴二面角B-AC-E的平面角的正弦值是

30

6

．

点评：本题考查空间角的计算，考查学生的计算能力，正确作出空间角是关键．