Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）试根据（1）所求方程判断曲线是否为椭圆方程，若是，写出其长轴长、焦距、离心率．

Answer 1

分析 （1）以$\overline{AB}$所在的方向为为x轴的正方向，以AB中点为坐标原点O，建立平面直角坐标系，确定P的轨迹为椭圆，即可求曲线E的方程；
（2）由椭圆的定义判断（1）所求得方程为椭圆方程，并并求得a、b和c，即可求得长轴长、焦距、离心率．

解答 解：（1）以$\overline{AB}$所在的方向为为x轴的正方向，以AB中点为坐标原点O，建立平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$＞2=|AB|，
∴动点轨迹为椭圆，且a=$\sqrt{2}$，c=1，由a²=b²+c²，从而b=1．
∴方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）∵|PA|+|PB|=2$\sqrt{2}$＞2=|AB|，
曲线方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$为椭圆方程，a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1．
∴长轴长2$\sqrt{2}$，焦距为2，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，简单几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．