Question

【题目】如图，已知抛物线C：y2=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．
（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；
（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）焦点F（1，0）
∵直线l的斜率不为0，所以设l：x=my+1，
A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
由 得y2﹣4my﹣4=0，
y1+y2=4m，y1y2=﹣4，
，
，
∴ ，
∴ ．
∴直线l的斜率k2=4，
∵k＞0，∴k=2，
∴直线l的方程为2x﹣y﹣2=0．
（Ⅱ）设M（a2 ， 2a），
kMA= = ，
同理，kMB= ，kMD= ，
∵直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，
∴2 = + 恒成立；
∴ = ，
又∵y1+y2=4m，y1y2=﹣4，
∴（a2﹣1）（m+ ）=0，
∴a=±1，
∴存在点M（1，2）或M（1，﹣2），使得对任意直线l，
直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列．

【解析】（Ⅰ）设l：x=my+1，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则联立方程化简可得y2﹣4my﹣4=0，从而可得 ，从而求直线l的方程；
（Ⅱ）设M（a2 ， 2a），则kMA= = ，kMB= ，kMD= ，则 = ，从而可得（a2﹣1）（m+ ）=0，从而求出点M的坐标．
【考点精析】利用一般式方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）．