Question

【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 对任意n∈N* ， 点（an ， Sn）都在函数 的图象上．
（1）求数列{an}的首项a1和通项公式an；
（2）若数列{bn}满足 ，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）已知数列{cn}满足 ．若对任意n∈N* ， 存在 ，使得c1+c2+…+cn≤f（x）﹣a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题知，当n=1时，a1=S1= a12+ a1，所以a1=1（0舍去）．

Sn= an2+ an，所以Sn+1= an+12+ an+1，两式相减得到

（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）=0，

因为正项数列{an}，所以an+1﹣an=1，

数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an=n．

（2）解：由（1）知an=n，{bn}满足 =n+log2（2n﹣1），

所以bn=（2n﹣1）2n，

因此前n项和Tn=121+322+523+…+（2n﹣1）2n，①

2Tn=122+323+524+…+（2n﹣1）2n+1，②

由①﹣②得到﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1

=2+2 ﹣（2n﹣1）2n+1=﹣6+（3﹣2n）2n+1，

所以Tn=6+（2n﹣3）2n+1．

（3）解：由（2）知Tn=6+（2n﹣3）2n+1，

= ﹣ = ﹣（ ﹣ ）．

令Mn为数列{cn}的前n项和，

易得Mn= ﹣（1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= ﹣ ．

因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0，当n≥5时，cn= [ ﹣1]，

而 ﹣ = ＞0，得到

≤ ＜1，所以当n≥5时，cn＜0，所以Mn≤M4= ﹣ = ﹣ ．

又x∈[﹣ ， ]，f（x）﹣a= x2+ x﹣a递增，可得其最大值为 ﹣a．

因为对任意的n∈N*，存在x0∈[﹣ ， ]，使得Mn≤f（x）﹣a成立．

所以 ﹣ ≤ ﹣a，

解得a≤ ．

【解析】（1）运用数列的递推式，令n=1，求出首项；再将n换为n+1，两式相减，化简即可得到所求通项公式；（2）运用对数的运算性质可得bn=（2n﹣1）2n ， 再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和；（3）求得 = ﹣ = ﹣（ ﹣ ）．运用分组求和和裂项相消求和，可得Mn= ﹣ ．讨论{Mn}的单调性，可得最大值M4 ， 求得f（x）﹣a的最大值，由题意可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．