Question

【题目】如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且 ．

（1）若∠BCD=60°，求证：BC⊥EF；
（2）若∠CBA=60°，求直线AF与平面FBE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，∴EH= ．

∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，

∴EH⊥平面ABCD．

又∵FD⊥平面ABCD，FD= ，∴FD∥EH，且FD=EH．

∴四边形EHDF为平行四边形，

∴EF∥HD，

在等边三角形BCD中，BC⊥DH，则BC⊥EF

（2）解：连接HA，由（1），得H为BC中点，又∠CBA=60°，△ABC为等边三角形，

∴HA⊥BC，分别以HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系H﹣xyz．

则B（1，0，0），F（﹣2， ， ），E（0，0， ），A（0， ，0），

=（﹣3， ， ）， =（﹣1， ，0）， =（﹣1，0， ）， =（﹣2，0， ），

设平面EBF的法向量为 =（x，y，z），

由 令z=1，

得 =（ ，2，1），∴直线AF与平面EBF所成角的正弦值为| |= ．

【解析】（1）过点E作EH⊥BC于H，连接HD，证明四边形EHDF为平行四边形，可得EF∥HD，即可证明BC⊥EF；（2）若∠CBA=60°，建立空间直角坐标系，求出平面EBF的法向量，即可求直线AF与平面FBE所成角的正弦值．
【考点精析】关于本题考查的空间中直线与直线之间的位置关系和空间角的异面直线所成的角，需要了解相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．