Question

已知

i

=（1，0），

c

=（0，

2

），若过点A（0，

2

）、以

i

-λ

c

为法向量的直线l₁与过点B（0，-

2

）、以

c

+λ

i

为法向量的直线l₂相交于动点P．
（1）求直线l₁和l₂的方程；
（2）求直线l₁和l₂的斜率之积k₁k₂值，并证明动点P的轨迹是一个椭圆；
（3）在（2）的条件下，设椭圆的两个焦点为E，F．若M，N是l：x=2

2

上两个不同的动点，且

EM

•

FN

=0，试问当|MN|取最小值时，向量

EM

+

FN

与

EF

是否平行，并说明理由．

Answer 1

考点：与直线有关的动点轨迹方程,平面向量数量积的运算,直线的一般式方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出直线的法向量，即可求直线l₁和l₂的方程；
（2）利用（1）中直线l₁和l₂的方程，求出P的坐标，消元即可得出结论；
（3）由

EM

•

FN

=0得(

2

，m)•(3

2

，n)=0，即mn=-6，从而可求|MN|的最小值，向量

EM

+

FN

与

EF

平行．

解答： （1）解：由题意，

i

-λ

c

=（1，-

2

λ），直线l₁过点A（0，

2

），
∴l1：y=

2

2λ

x+

2

；
同理l2：y=-

2 λ

2

x-

2

；
（2）证明：由（1）知，k1k2=-

1

2

，P（

4λ

1+λ2

，

3 2 + 2 λ2

1+λ2

）
消去λ，可得椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（3）解：由（2）知E(

2

，0)，F(-

2

，0)，
设M(2

2

，m)，N(2

2

，n)．
由

EM

•

FN

=0得(

2

，m)•(3

2

，n)=0，即mn=-6，
则当且仅当m=

6

，n=-

6

时，|MN|取到最小值为2

6

，
此时

EM

+

FN

=(

2

，

6

)+(3

2

，-

6

)=(4

2

，0)，与

EF

=(-2

2

，0)是平行的．

点评：本题考查直线方程，考查平面向量数量积的运算，考查学生的计算能力，难度中等．