Question

已知向量

a

=（sinθ，1），

b

=（1，cosθ）（0≤θ≤π）．
（1）若

a

⊥

b

，求θ；
（2）求|

a

+

b

|的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由

a

⊥

b

，可得

a

•

b

=0，解出即可．
（2）

a

+

b

=（sinθ+1，cosθ+1），利用模的计算公式可得|

a

+

b

|=

(sinθ+1)2+(cosθ+1)2

=

3+2 2 sin(θ+ π 4 )

，再利用0≤θ≤π，(θ+

π

4

)∈[

π

4

，

5π

4

]．及正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=sinθ+cosθ=0，
∴tanθ=-1，
∵0≤θ≤π，∴θ=

3π

4

．
（2）∵

a

+

b

=（sinθ+1，cosθ+1），
∴|

a

+

b

|=

(sinθ+1)2+(cosθ+1)2

=

3+2(sinθ+cosθ)

=

3+2 2 sin(θ+ π 4 )

，
∵0≤θ≤π，(θ+

π

4

)∈[

π

4

，

5π

4

]．
∴当θ+

π

4

=

π

2

时，sin(θ+

π

4

)取得最大值1，此时|

a

+

b

|取得最大值

3+2 2

=

2

+1．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式、正弦函数的单调性，考查了了推理能力和计算能力，属于中档题．