Question

（Ⅰ）求函数y=2cos²x+5sinx-4的最大值与最小值；
（Ⅱ）已知函数y=2acos（2x-

π

3

）+b的定义域是[0，

π

2

]，值域是[-5，1]，求a，b的值．

Answer 1

考点：余弦函数的图象,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据函数y=2cos²x+5sinx-4=-2(sinx-

5

4

)2+

9

8

，再根据sinx的范围、利用二次函数的性质，求得该函数的最值．
（Ⅱ）根据函数的定义域是[0，

π

2

]，利用余弦函数的值域可得函数的值域为[-|a|+b，2|a|+b]．再根据函数的值域是[-5，1]，可得-|a|+b=-5，2|a|+b=1，由此求得a，b的值．

解答： （Ⅰ）解：∵函数y=2cos²x+5sinx-4=-2sin²x+5sinx-2=-2(sinx-

5

4

)2+

9

8

，
故当sinx=1时，函数取得最大值为1，当sinx=-1时，函数取得最小值为-

27

8

．
（Ⅱ）解：已知函数y=2acos（2x-

π

3

）+b的定义域是[0，

π

2

]，可得-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴-

1

2

≤cos（2x-

π

3

）≤1，
故函数的值域为[-|a|+b，2|a|+b]．
再根据函数的值域是[-5，1]，可得-|a|+b=-5，且2|a|+b=1，求得a=±2，b=-3．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二次函数的性质、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．