Question

函数f（x）=lnx-2ax²（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=

1

8

时，证明：f（x）≤

2

4

x4+1

-

3

4

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=

1

x

-4x=

1-4x2

x

，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极值．
（Ⅱ）由f′(x)=

1

x

-4ax=

1-4ax2

x

，x＞0，利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）即证lnx-

1

4

x2≤

1

2

x-

3

4

，设F(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x+

3

4

，x＞0由此利用导数性质能证明f（x）≤

2

4

x4+1

-

3

4

．

解答： （Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=lnx-2x²，
f′（x）=

1

x

-4x=

1-4x2

x

，x＞0，
由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

2

，由f′（x）＜0，得x＞

1

2

，
∴f（x）的增区间为（0，

1

2

），减区间为（

1

2

，+∞），
∴当x=

1

2

时，f（x）取得极大值，为f（

1

2

）=ln

1

2

-

1

2

，无极小值．
（Ⅱ）解：f′(x)=

1

x

-4ax=

1-4ax2

x

，x＞0，
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无减区间．
当a＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜

a

2a

；由f′（x）＜0，得x＞

a

2a

，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，

a

2a

），减区间为（

a

2a

，+∞）．
（Ⅲ）证明：当a=

1

8

时，f（x）=lnx-

1

4

x²，
∵

x4+1

≥

2x

，
∴证明f（x）≤

2

4

x4+1

-

3

4

，即证lnx-

1

4

x2≤

1

2

x-

3

4

，
设F(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x+

3

4

，x＞0，
则F′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

2-x-x2

2x

，x＞0
由F′（x）＞0，得x＞1；由F′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴x=1时，F（x）取得极大值F（1）=0，
∴f（x）≤

2

4

x4+1

-

3

4

．

点评：本题考查函数的极值的求法，考查函数的单调区求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．