Question

证明：

2

3

+

2

5

+

2

7

+…+

2

2n+1

＜ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,不等式的证明

专题：不等式

分析：构造不等式x＞ln（x+1），将1，

1

2

，

1

3

，…

1

n

分别代入，然后将同向不等式对应相加，化简即可证明右侧不等式．构造函数f（x）=ln（x+1）-ln（x）-

2

2x+1

，通过判断函数的单调性以及函数的最值，然后利用累加法证明不等式即可．

解答： 解：∵函数f（x）=e^x-x，由f′（x）=e^x-1=0，得x=0，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（0）=1，
∴x∈R时，f（x）≥1，
当x＞0时，e^x＞x+1，即x＞ln（x+1），
则1＞ln2，

1

2

＞ln（

1

2

+1），…，

1

n

＞ln（

1

n

+1），
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1），
∴ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
令f（x）=ln（x+1）-ln（x）-

2

2x+1

，
求导，得 f'（x）=

1

x+1

-

1

x

+

4

(2x+1)2

=

4

(2x+1)2

-

1

x(x+1)

=

4x(x+1)-(2x+1)2

x(x+1)(2x+1)2

=

-1

x(x+1)(2x+1)2

＜0
所以f（x）是单调减函数，而当x→+∞时，f（x）=ln（1+

1

x

）-

2

2x+1

→0 所以f（x）＞0，
对任意的x＞0 由不等式ln（x+1）-lnx＞

2

2x+1

所以ln（n+1）-lnn＞

2

2n+1

，lnn-ln（n-1）＞

2

2n-1

，…ln3-ln2＞

2

5

，ln2-ln1＞

2

3

，
∴ln（n+1）-lnn+lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+…+ln2-ln1＞

2

3

+

2

5

+

2

7

+…+

2

2n+1

，
即：

2

3

+

2

5

+

2

7

+…+

2

2n+1

＜ln（n+1），
∴

2

3

+

2

5

+

2

7

+…+

2

2n+1

＜ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

点评：本题主要考查了不等式的证明，放缩法的应用，构造函数函数的最值的应用，以及利用同向不等式的加法证明不等式，属于中档题．