Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，设向量

m

=（a，

1

2

），

n

=（cosC，c-2b），且

m

⊥

n

，
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=4，求△ABC的周长最小值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）在△ABC中，由

m

•

n

=0，求得cosC=

2b-c

2a

．再由余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，化简可得a²-b²-c²=-bc，求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

的值，可得A的值．
（2）由 b+c=4≥2

bc

，求得bc≤4，再根据△ABC的周长为a+b+c=b+c+

16-3bc

，可得△ABC的周长最小值．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵向量

m

=（a，

1

2

），

n

=（cosC，c-2b），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=a•cosC+

1

2

c-b=0，即 cosC=

2b-c

2a

．
再由余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，∴

2b-c

2a

=

a2+b2-c2

2ab

，∴a²-b²-c²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）∵b+c=4≥2

bc

，∴bc≤4，
△ABC的周长为a+b+c=4+a=4+

b2+c2-2bc•cosA

=4+

(b+c)2-3bc

=4+

16-3bc

≥4+

16-12

=6，
故△ABC的周长最小值为6．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量的垂直的性质，余弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．