Question

已知直线L：x-y-1=0，L₁：2x-y-2=0，若直线L₂与L₁关于直线L对称，求L₂的方程．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：直线与圆

分析：法①利用“若直线L₁：ax+by=0（ab不同时为0）与直线直线L₂关于直线y=x+m对称，直线L₂的方程为a（y-m）+b（x+m）=0（ab不同时为0）”即可求得答案．
法②利用到角公式可求得直线L₂的斜率，再求得直线L与L₁的交点（直线L₂过该点），利用直线的点斜式即可求得L₂的方程

解答： 解：法①∵直线L：x-y-1=0的斜率为1（特殊值），
∴x=y+1，y=x-1；
又直线L₁：2x-y-2=0与L₂关于直线L：x-y-1=0对称，
∴直线L₂的方程为2（y+1）-（x-1）-2=0，
整理得：x-2y-1=0．
法②设直线L₁到直线L的夹角为θ，依题意知，直线L到L₂的夹角也是θ，
由到角公式tanθ=

k-k1

1+k1k

=

k2-k

1+k2k

，即

1-2

1+2×1

=

k2-1

1+k2

，
解得：k₂=

1

2

，即直线L₂的斜率为

1

2

；
由

x-y-1=0 2x-y-2=0

解得：

x=1 y=0

，直线L₂过该点（1，0），
∴直线L₂的方程为：y=

1

2

（x-1），
整理得：x-2y-1=0．

点评：本题考查直线关于点、直线对称的直线方程，利用“若直线L₁：ax+by=0（ab不同时为0）与直线直线L₂关于直线y=x+m对称，直线L₂的方程为a（y-m）+b（x+m）=0（ab不同时为0）”，属于中档题．