Question

已知a＜2，函数f（x）=（x²+ax+a）e^x
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的极大值是6•e^-2，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f′（x）=（x²+3x+2）e^x，由此利用导数性质能求出f（x）的单调递增区间．
（2）f′（x）=[x²+（a+2）x+2a]e^x，由f′（x）=0，得x=-2，或x=-a，列表讨论，能求出a的值．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=（x²+x+1）e^x，
∴f′（x）=（x²+3x+2）e^x，
由f′（x）≥0，得x≤-2，或x≥-1，
∴f（x）的增区间为（-∞，-2]，[-1，+∞）．
（2）f′（x）=[x²+（a+2）x+2a]e^x，
由f′（x）=0，得x=-2，或x=-a，
列表讨论，得：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴x=-2时，f（x）取得极大值，
又f（-2）=（4-a）•e^-2，f（x）的极大值是6•e^-2，
∴（4-a）•e^-2=6•e^-2，解得a=-2．
∴a的值为-2．

点评：本题考查函数单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．