Question

已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a的值；
（2）若f（x）≥0恒成立，求证：a=1
（3）若a＜0，且h（x）=f（x）+

4

x

在（0，1]上为减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立等式关系即可求出a的值；
（2）讨论a的符号使f（x）≥0恒成立，求出a的值即可；
（3）求导数，分离参数求最值，即可求实数a的取值范围．

解答： （1）解：∵f'（x）=1-

a

x

，∴f'（1）=1-a
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为1-a
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，
∴1-a=3，解得a=-2．
（2）证明：f'（x）=1-

a

x

，其中x＞0
（i）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
而f（1）=0，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜0，与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意．
（ii）当a＞0时，∵x＞a时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；
0＜x＜a时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a）上是减函数；
∴f（x）≥f（a）=a-1-alna
∵f（1）=0，∴当a≠1时，f（a）＜f（1）=0，此时与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1
（3）解：∵h′（x）=

x2-ax-4

x2

，h（x）=f（x）+

4

x

在（0，1]上为减函数，
∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
∴a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，
∵y=x-

4

x

在（0，1]上是增函数，
∴y=x-

4

x

的最大值为-3，
∴a≥-3，
∵a＜0，
∴-3≤a＜0．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题的应用，同时考查了计算能力，转化与化归的思想，属于中档题．