Question

已知函数f（x）=|x+a²|+|x+2a-5|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜5；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜5有实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＜5，即|x+1|+|x-3|＜5，根据绝对值的意义求得不等式f（x）＜5的解集．
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜5有实数解，则函数f（x）的最小值小于5．利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为a²-2a+5，可得a²-2a+5＜5，由此求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=|x+1|+|x-3|，不等式f（x）＜5，即|x+1|+|x-3|＜5．
根据绝对值的意义，|x+1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到-1对应点、3对应点的距离之和，
而-

3

2

和

7

2

到-1对应点、3对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）＜5的解集为（-

3

2

，

7

2

）．
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜5有实数解，则函数f（x）的最小值小于5．
∵|x+a²|+|x+2a-5|≥|x+a²-（x+2a-5）|=|a²-2a+5|=a²-2a+5，
∴a²-2a+5＜5，求得0＜a＜2．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．