Question

已知⊙C：x²+y²-2x+my-4=0上有两点M、N关于2x+y=0对称，直线l：λx+y-λ+1=0与⊙C相交于A、B，则|AB|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：根据圆的对称性确定圆的方程，圆心C的坐标及半径，因为直线恒过定点D（1，-1），所以当直线与CD垂直时，所截得的弦长|AB|最短．

解答： 解：由圆的对称性可知，直线2x+y=0经过圆C的圆心．
∵⊙C的圆心是（1，-

m

2

），
∴2--

m

2

=0
∴m=4．
∴圆心C（1，-2），半径r=3．
∵直线l：λx+y-λ+1=0可化为：y+1=-λ（x-1）
∴直线l恒过定点D（1，-1），
∴|CD|=1
由圆的性质易知，AB⊥CD时，|AB|最短，∴|AB|=2

r2-|CD|2

=4

2

．
故答案为：4

2

．

点评：本题考查圆的对称性，直线与圆相交的性质，以及过圆内一点的直线被圆所截得的弦长取最值等知识．