Question

如图，设M点是圆C：x²+（y-4）²=4上的动点，过点M作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于D，E两点．
（1）求四边形MAOB面积的最小值；
（2）是否存在点M，使得线段DE被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）当M在y轴上时，四边形MAOB面积取最小值，由此能求出四边形MAOB面积的最小值为

3

．
（2）设存在点M（x₀，y₀）满足条件设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y₀=k（x-x₀），由题意得，

|-kx0+y0|

1+k2

=1，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，由此利用韦达定理、切线方程，结合已知条件能求出点M的纵坐标．

解答： 解：（1）当M在y轴上时，四边形MAOB面积的最小值．
此时，M（（0，2），|MO|=2，|OA|=|OB|=1，
∴|MA|+|MB|=

22-12

=

3

，
∴（S_{四边形MAOB}）_min=2（

1

2

×|MA|×|OA|）=

3

．
∴四边形MAOB面积的最小值为

3

．
（2）设存在点M（x₀，y₀）满足条件
设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y₀=k（x-x₀）
则由题意得，

|-kx0+y0|

1+k2

=1，
化简得：(x02-1)k2-2x0y0k+y02-1=0
设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，
则k1+k2=

2x0y0

x02-1

，k1k2=

y02-1

x02-1

圆C在点M处的切线方程为y-y0=

-x0

y0-4

(x-x0)
令y=0，得切线与x轴的交点坐标为(

y02-4y0

x0

+x0，0)
又得D，E的坐标分别为(

-y0

k1

+x0，0)，(

-y0

k2

+x0，0)
由题意知，2(

y02-4y0

x0

+x0)=

-y0

k1

+x0+

-y0

k2

+x0
用韦达定理代入可得，

y 0-4

x0

=

-x0y0

y02-1

，
与x02+(y0-4)2=4联立，得y0=

13+ 105

8

，
∴点M的纵坐标为

13+ 105

8

．

点评：本题考查四边形的面积的最小值的求法，考查点的纵坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．