Question

已知函数f（x）=sin（2x-

π

6

）定义在区间[-

π

12

，

π

2

]上，
（1）求f（x）函数的单调增区间；
（2）若f²（x）-2f（x）+m≥0对定义域内的所有x都成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）对于函数f（x）=sin（2x-

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，可得函数的增区间．再根据定义域为[-

π

12

，

π

2

]，可进一步确定函数的增区间．
（2）根据x∈[-

π

12

，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）∈[-

3

2

，1]．由题意可得f²（x）-2f（x）的最小值大于或等于-m，即[f（x）-1]²≥1-m 恒成立，可得（1-1）²≥1-m，由此求得m的范围．

解答： 解：（1）对于函数f（x）=sin（2x-

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
可得函数的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
再根据函数的定义域为[-

π

12

，

π

2

]，可得函数的增区间为[-

π

12

，

π

3

]．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，∴sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]，即f（x）∈[-

3

2

，1]
根据f²（x）-2f（x）+m≥0对定义域内的所有x都成立，可得f²（x）-2f（x）的最小值大于或等于-m，
即[f（x）-1]²≥1-m 恒成立，∴（1-1）²≥1-m，求得m≥1，即m的范围为[1，+∞）．

点评：本题主要考查正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．