Question

若x、y∈R⁺且x+3y=1，则Z=

x+1

+

3y+2

的最大值

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由已知x、y∈R⁺且x+3y=1，可将

3y+2

化为

3-x

，进而结合

x+1

2+

3-x

2=4，可设

x+1

=2sinα，

3-x

=2cosα，（0≤α≤

π

2

），根据三角函数的图象和性质得到函数的最值．

解答： 解：∵x、y∈R⁺且x+3y=1，
故3y=1-x，
3y+2=3-x，
则Z=

x+1

+

3y+2

=

x+1

+

3-x

，
∵

x+1

2+

3-x

2=4，
∴设

x+1

=2sinα，

3-x

=2cosα，（0≤α≤

π

2

），
则Z=

x+1

+

3y+2

=2sinα+2cosα=2

2

sin（α+

π

4

），
故当α+

π

4

=

π

2

时，Z取最大值2

2

，
故答案为：2

2

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中利用三角换元法，将Z化为2sinα+2cosα=2

2

sin（α+

π

4

），是解答的关键．