Question

设α、β是方程x²+13x+1=0的两根，则（α²+2013α+1）（β²+2013β+1）=

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：解法一：根据α、β是方程x²+13x+1=0的两根，由韦达定理可得：α+β=-13，α•β=1，将（α²+2013α+1）（β²+2013β+1）展开代入整理可得答案．
解法二：根据α、β是方程x²+13x+1=0的两根，α²+13α+1=0，β²+13β+1=0，αβ=1，整体代入后可得（α²+2013α+1）（β²+2013β+1）的值．

解答： 解法一：∵α、β是方程x²+13x+1=0的两根，
∴α+β=-13，αβ=1，
故（α²+2013α+1）（β²+2013β+1）
=（αβ）²+2013α²β+α²+2013²αβ²+2013αβ+2013α+β²+2013β+1
=1+2013α+α²+2013β+2013²+2013α+β²+2013β+1
=2013²+2+4026（α+β）+α²+β²
=2013²+4026（α+β）+（α+β）²-2（αβ）
=2013²-4026×13+13²
=4000000，
解法二：∵α、β是方程x²+13x+1=0的两根，
∴α²+13α+1=0，β²+13β+1=0，αβ=1，
故（α²+2013α+1）（β²+2013β+1）=2000²（αβ）=4000000，
故答案为：4000000

点评：本题考查的知识点是二次方程根与系数的关系（韦达定理），其中方法二的整体代入思想运算简便，建议采用．