Question

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|，当a=1时，是否存在x∈[m，n]，f（x）的取值范围为[

2

n

，

2

m

]，若存在求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：当a=1时，f（x）=2x²+（x-1）|x-1|，当x≥1时，f（x）=2x²+（x-1）²=3x²-2x+1为增函数；当x＜1时，f（x）=2x²-（x-1）²=x²+2x-1，在（-∞，-1]上为减函数，在[-1，1）上为增函数；故函数f（x）在（-∞，1]上为减函数，在[1，+∞）上为增函数；当x=1时，函数f（x）取最小值2，进而分当m＜n＜0时，当0＜m＜n＜1时，当m＜1＜n时，和当1≤m＜n时四种情况，分类讨论满足条件的m，n的值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：当a=1时，f（x）=2x²+（x-1）|x-1|，
当x≥1时，f（x）=2x²+（x-1）²=3x²-2x+1为增函数；
当x＜1时，f（x）=2x²-（x-1）²=x²+2x-1，在（-∞，-1]上为减函数，在[-1，1）上为增函数；
故函数f（x）在（-∞，1]上为减函数，在[1，+∞）上为增函数；当x=1时，函数f（x）取最小值2，
若存在x∈[m，n]，f（x）的取值范围为[

2

n

，

2

m

]，m，n同号，
①当m＜n＜0时，f（x）为减函数，
则

m2+2m-1= 2 m n2+2n-1= 2 n

，
即方程x2+2x-1=

2

x

有两个负根，
即方程x³+2x²-x-2=（x-1）（x+1）（x+2）=0有两个负根，
即m=-2，n=-1，
②当0＜m＜n＜1时，f（x）为减函数，则

m2+2m-1= 2 m n2+2n-1= 2 n

，
即方程x2+2x-1=

2

x

有两个介于0的根，
由①得，不存在满足条件的m，n，
③当m＜1＜n时，

2

n

=2，解得n=1不满足要求，
④当1≤m＜n时，f（x）为增函数，
则

m2+2m-1= 2 n n2+2n-1= 2 m

，
此时方程组无解，
综上所述m=-2，n=-1，

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，方程的根，分类复杂，转化难度大，综合性强，属于难题．