Question

以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为

x=5- 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-

π

3

）．
（Ⅰ）求直线l和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求x+

3

y的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由直线的参数方程可得直线过定点及直线的倾斜角，求出斜率后代入点斜式得直线的直角坐标方程．展开极坐标方程右边，两边同时乘以ρ后，由极坐标和直角坐标的互化公式得答案；
（Ⅱ）求出圆的参数方程，得到圆上点的坐标，代入x+

3

y利用三角函数求得其取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为

x=5- 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

（t为参数），
可得直线l过（5，-

3

），倾斜角为

5π

6

，由此可得直线l的直角坐标方程为：
y+

3

=-

3

3

(x-5)，即x+

3

y-2=0．
由ρ=4cos（θ-

π

3

），得
ρ=2cosθ+2

3

sinθ，两边同时乘以ρ得：ρ2=2ρcosθ+2

3

ρsinθ，
即(x-1)2+(y-

3

)2=4；
（Ⅱ）设

x=1+2cosθ y= 3 +2sinθ

，则
x+

3

y=2

3

sinθ+2cosθ+4=4sin(θ+

π

6

)+4．
由-1≤sin(θ+

π

6

)≤1，可得
0≤x+

3

y≤8．
即x+

3

y∈[0，8]．

点评：本题考查了参数方程和直角坐标方程的互化，考查了极坐标化直角坐标，是基础题．