Question

已知函数f（x）=2f′（1）lnx+2f（1）x+

1

4

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=

1

2

mx²-

7

2

x+f（x）（1≤m＜4），求证：函数g（x）存在单调递减区间[a，b]，并求出单调递减区间的长度l=b-a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（1），再求函数的导数f′（x），求出f′（1），从而得到函数的解析式；
（Ⅱ）写出g（x）的表达式，再求导数，令导数不大于0，g′（x）≤0?h（x）=mx²-4x+1≤0，方程h（x）=0在（0，+∞）内有两个不相等的实数根x₁，x₂，（x₁＜x₂），运用韦达定理，再求|x₂-x₁|的表达式，求出范围即可．

解答： （Ⅰ）解：∵f（1）=2f（1）+

1

4

，f（1）=-

1

4

．
∴f（x）=2f′（1）lnx-

1

2

x+

1

4

，
∴f′（x）=

2f′(1)

x

-

1

2

，f′（1）=2f′（1）-

1

2

，
∴f′（1）=

1

2

，
∴f（x）=lnx-

1

2

x+

1

4

；
（Ⅱ）证明：g（x）=

1

2

mx²-

7

2

x+f（x）=

1

2

mx²-

7

2

x+lnx-

1

2

x+

1

4

=

1

2

mx²-4x+lnx+

1

4

（1≤m＜4），定义域为（0，+∞）．
g′（x）=mx-4+

1

x

=

mx2-4x+1

x

，
g′（x）≤0?h（x）=mx²-4x+1≤0，
∵1≤m＜4，△=16-4m＞0，对称轴x=

2

m

＞0．h（0）=1＞0，
∴方程h（x）=0在（0，+∞）内有两个不相等的实数根x₁，x₂，（x₁＜x₂），
即h（x）≤0的解集为[x₁，x₂]，
∴f（x）的单调减区间是[x₁，x₂]，
|x₂-x₁|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

16 m2 - 4 m

=

16( 1 m - 1 8 )2- 1 4

，
∵1≤m＜4，∴0＜|x₂-x₁|≤2

3

，又[a，b]⊆[x₁，x₂]，
∴函数的单调递减区间的长度l=b-a的取值范围是（0，2

3

]．

点评：本题考查函数的导数的综合应用：求函数的单调性，考查导数的运算，同时考查二次方程的韦达定理和函数的最值，是一道中档题．