Question

已知命题p：?x₀∈[-1，1]，满足x₀²+x₀-a+1＞0，命题q：?t∈（0，1），方程x²+

y 2

t2-(2a+2)t+a2+2a+1

=1都表示焦点在y轴上的椭圆．若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：在命题p中，因为?x₀∈[-1，1]，满足x02+x0-a+1＞0，所以只要x02+x0-a+1的最大值满足不等式即可，这样求出该最大值，即可得到a的取值范围．同样根据命题q中的方程表示椭圆，求出a的取值范围．容易判断命题p和q中一真一假，所以分p真，q假和p假，q真讨论，求对应的a的取值范围，然后求这两种情况的并集即可．

解答： 解：因为?x₀∈[-1，1]，满足x02+x0-a+1＞0，所以只须(x02+x0-a+1)max＞0；
∵x02+x0-a+1=(x0+

1

2

)2-a+

3

4

，∴x₀=1时，x02+x0-a+1的最大值为3-a，∴3-a＞0，所以命题p：a＜3；
因为?t∈（0，1），方程x2+

y 2

t2-(2a+2)t+a2+2a+1

=1都表示焦点在y轴上的椭圆，所以t²-（2a+2）t+a²+2a+1＞1即t²-（2a+2）t+a²+2a=（t-a）（t-（a+2））＞0对t∈（0，1）恒成立，只须a+2≤0或a≥1，得a≤-2或a≥1；
根据已知条件知，p和q中一真一假：
若p真q假，得

a＜3 -2＜a＜1

，即-2＜a＜1；
若p假q真，得

a≥3 a≤-2，或a≥1

，得a≥3
综上所述，-2＜a＜1，或a≥3；
∴a的取值范围为（-2，1）∪[3，+∞）．

点评：考查对?和?两种数学用语的理解，二次函数在闭区间上的函数的最值，一元二次不等式解的情况，p∨q，p∧q两种连接词的概念及真假情况．