Question

已知f（x）=-（

1

4

）^x+m（

1

2

）^x+3（-1≤x≤1）的最大值为4，求m的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：先用换元法，令t=(

1

2

)x，将f（x）转化成关于t的一个二次函数，再配方，对m进行分类讨论，属于区间定对称轴定的情形．

解答： 解：令t=(

1

2

)x，∵-1≤x≤1，∴t∈[

1

2

，2]，
f（x）=y=-t²+mt+3，对称轴为t=

m

2

，
当

m

2

≤

1

2

即m≤1时，y在[

1

2

，2]上单调递减，当t=

1

2

时，有最大值-

1

4

+

m

2

+3=4，解得m=

5

2

（舍去），
当

m

2

≥2即m≥4时，y在[

1

2

，2]上单调递增，当t=2时，有最大值-4+2m+3=4，解得m=

5

2

（舍去），
当

1

2

＜

m

2

＜2即1＜m＜4，y在[

1

2

，

m

2

]上单调递增，在[

m

2

，2]上单调递减，当t=

m

2

时，有最大值

m2

4

+3=4，解得m=2或m=-2（舍去），
综上得m=2．

点评：本题考查了：换元思想、配方去，分类讨论思想，等价转化思想，属于中档题．