Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=60°，F为PC的中点，AF⊥PC．
（1）求证：PB⊥BC；
（2）求点D到平面PCB的距离．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质,点、线、面间的距离计算

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由余弦定理求得AB=2

3

，由AB²+BC²=AC²，则AB⊥BC，再由线面垂直的性质，得到BC⊥PA，即有BC⊥平面PAB，即可得证；
（2）设点D到平面PCB的距离为h，点F到平面BCD的距离是P点到平面BCD的距离的一半．V_F-BCD=V_D-BCF，
由棱锥的体积公式，即可求得．

解答： （1）证明：△ABC中，因为AC=4，BC=2，∠ACB=60°，
所以AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos60°=16+4-2×4×2×

1

2

=12，
即有AB=2

3

，由AB²+BC²=AC²，则AB⊥BC，
又由PA⊥底面ABCD，得BC⊥PA，则BC⊥平面PAB，
故PB⊥BC；
（2）解：在△APC中，因为AF⊥PC，F为PC之中点，
所以AP=AC=4，PC=4

2

，PB=2

7

，
设点D到平面PCB的距离为h，
且点F到平面BCD的距离是P点到平面BCD的距离的一半．即
点F到平面BCD的距离为

1

2

PA=2，又V_F-BCD=V_D-BCF，
即

1

3

（

1

2

PA•S_△BCD）=

1

3

S_△BCFh，即2×

1

2

×4×

3

2

=

1

2

×

1

2

×4

7

h，
可求得：h=

2 21

7

，
则点D到平面PCB的距离为

2 21

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质和判定，考查点到平面的距离的求法，运用体积转换，考查棱锥的体积运算，属于中档题．