Question

（2006•东城区二模）双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且|

OA

|2+|

OB

|2=

4

3

|

OA

|2•|

OB

|2，其中A（0，-b），B（a，0）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C上存在关于直线l：y=kx+4对称的点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意有：

c a =2 a2+b2= 4 3 a2b2 a2+b2=c2.

解得a，b即可；
（2）对k分类讨论，当k≠0时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称，
由l⊥MN，设直线MN的方程为y=-

1

k

x+m．与双曲线的方程联立得到△＞0和根与系数的关系，及利用中点坐标公式等即可得出．

解答：解：（1）依题意有：

c a =2 a2+b2= 4 3 a2b2 a2+b2=c2.

解得：a=1，b=

3

，c=2．
所求双曲线的方程为x2-

y2

3

=1．
（2）当k=0时，显然不存在．
当k≠0时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称，
由l⊥MN，设直线MN的方程为y=-

1

k

x+m．
则M、N两点的坐标满足方程组

y=- 1 k x+m 3x2-y2=3.

消去y得（3k²-1）x²+2kmx-（m²+3）k²=0．
显然3k²-1≠0，∴△=（2km）²-4（3k²-1）[-（m²+3）k²]＞0．
即k²m²+3k²-1＞0．①
设线段MN中点D（x₀，y₀）．
则

x0= -km 3k2-1 y0= 3k2m 3k2-1 .

∵D（x₀，y₀）在直线l上，∴

3k2m

3k2-1

=

-k2m

3k2-1

+4．即k²m=3k²-1②
把②代入①中得   k²m²+mk²＞0，解得m＞0或m＜-1．
∴

3k2-1

k2

＞0或 

3k2-1

k2

＜-1．
则|k|＞

3

3

或|k|＜

1

2

，且k≠0．
∴k的取值范围是(-∞，-

3

3

)∪(-

1

2

，0)∪(0，

1

2

)∪(

3

3

，+∞)．

点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为把直线的方程与双曲线的方程联立可得根与系数的关系及△＞0、中点坐标公式、分类讨论思想方法等是解题的关键．