Question

15．已知sinα-2cosα+1=0，α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
（1）求tan（3π-α）的值；
（2）求$\frac{1}{si{n}^{2}α-sinαcosα+1}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先，得到sinα=2cosα-1，然后，根据同角三角函数基本关系式求解即可；
（2）首先，将所给分式化为齐次分式的形式，然后，用正切表示，代入即可求解结果．

解答 解：（1）∵sinα-2cosα+1=0，α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴sinα=2cosα-1，
∴（2cosα-1）²+cos²α=1，
∴cosα（5cosα-4）=0，
∵α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴cosα=$\frac{4}{5}$，
∴sinα=2cosα-1=$\frac{3}{5}$，
∴tanα=$\frac{3}{4}$，
∴tan（3π-α）=tan（π-α）
=-tanα=-$\frac{3}{4}$．
（2）$\frac{1}{si{n}^{2}α-sinαcosα+1}$
=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{2si{n}^{2}α-sinαcosα+co{s}^{2}α}$
=$\frac{ta{n}^{2}α+1}{2ta{n}^{2}α-tanα+1}$
=$\frac{（\frac{3}{4}）^{2}+1}{2（\frac{3}{4}）^{2}-\frac{3}{4}+1}$
=$\frac{25}{22}$．

点评 本题重点考查了三角函数、三角公式及其灵活运用，属于中档题．