Question

7．设函数f（x）=|x²-2x-1|，若a＞b＞1且f（a）=f（b），则ab-a-b的取值范围是（-1，1）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，由a＞b＞1，且f（a）=f（b）可得 （a-1）²+（b-1）²=4．设a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），根据ab-a-b=2sin2θ-1，利用正弦函数的定义域和值域求得ab-a-b的范围．

解答 解：作出函数f（x）的图象，如图：

可得f（x）=|x²-2x-1|的图象关于直线x=1对称，
且f（1-$\sqrt{2}$）=f（1+$\sqrt{2}$）=0，
f（3）=f（-1）=f（1）=2，
由a＞b＞1，且f（a）=f（b），得a²-2a-1=-（b²-2b-1），整理得 （a-1）²+（b-1）²=4．
设a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
则ab-a-b=（a-1）（b-1）-1=2sin2θ-1，
由sin2θ∈（0，1），可得2sin2θ-1∈（-1，1），即ab-a-b∈（-1，1），
即：-1＜ab-a-b＜1．
故答案为：（-1，1）．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，同时考查了分析问题的能力，计算能力，讨论的数学思想，属于中档题．