Question

5．已知在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB．

Answer 1

分析 根据已知中在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，利用向垂直的充要条件，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，结合向量减法的三角形法则，可得$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{BA}$=0，即OC⊥AB．

解答 证明：∵在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
即$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）=0，且$\overrightarrow{OB}$•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=0，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，且$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OA}$=0，
两式相减得：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{BA}$=0，
即OC⊥AB．

点评 本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律利用想向量垂直判断线垂直．