Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=4，对一切正整数n，都有$\frac{1}{2}$S_n-a_n+2=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据对一切正整数n，都有$\frac{1}{2}$S_n-a_n+2=0，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）求得数列{b_n}的通项，再利用错位相减法，即可求得数列{b_n}的前n项的和T_n．

解答 解：（1）由题意对一切正整数n，都有$\frac{1}{2}$S_n-a_n+2=0，
当n≥2时，$\frac{1}{2}$S_n-1-a_n-1+2=0．
两式相减可得$\frac{1}{2}$（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=0，
即为$\frac{1}{2}$a_n-a_n+a_n-1=0，即有a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（2）∵b_n=a_n•log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{{a}_{n}}$=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴前n项和T_n=2•2²+3•2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
2T_n=2•2³+3•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，
两式相减可得-T_n=8+2³+…+2ⁿ⁺¹-（n+1）•2ⁿ⁺²
=8+$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺²，
化简可得T_n=（n+1）•2ⁿ⁺²-2³•2^n-1=n•2ⁿ⁺²．

点评 本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，解题的关键是掌握数列求通项的方法，正确运用错位相减法，属于中档题．