Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n+1=2S_n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的各项均为正数，且b_n是

n

an

与

n

an+2

的等比中项，求b_n的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式得到另一递推式，作差后得到

an+1

an

=3(n≥2)，再求出a₂后由

a2

a1

=3综合得到数列{a_n}是等比数列，由此得到等比数列的通项公式；
（2）由b_n是

n

an

与

n

an+2

的等比中项求得{b_n}的通项公式，然后利用错位相减法求得b_n的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=2S_n+2，得
a_n=2S_n-1+2（n≥2），
两式作差得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
即

an+1

an

=3(n≥2)．
又a₂=2S₁+2=2a₁+2=6，
∴

a2

a1

=3．
∴数列{a_n}是以2为首项，以3为公比的等比数列．
则an=2•3n-1；
（2）∵数列{b_n}的各项均为正数，且b_n是

n

an

与

n

an+2

的等比中项，
∴bn2=

n

2•3n-1

•

n

2•3n+1

=

n2

4•32n

，
bn=

n

2•3n

．
∴Tn=

1

2×31

+

2

2×32

+

3

2×33

+…+

n

2•3n

．

1

3

Tn=

1

2×32

+

2

2×33

+…+

n

2•3n+1

．
作差得：

2

3

Tn=

1

2×31

+

1

2×32

+…+

1

2•3n

-

n

2•3n+1

=

1

2

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

2•3n+1

=

1

4

(1-

1

3n

)．
∴Tn=

3

8

(1-

1

3n

)．

点评：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，属中档题．