Question

各项为正数的数列{a_n}中，已知 a_n=3a_n+1，且a₁•a₆=

1

27

，
（1）求证{a_n}为等比数列，并写出通项公式；
（2）

1

243

是否为等比数列中的项，若是，是第几项？说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n=3a_n+1，可得

an+1

an

=

1

3

，即可证明{a_n}为等比数列，并写出通项公式；
（2）利用等比数列的通项公式，即可得出结论．

解答： （1）证明：∵a_n=3a_n+1，∴

an+1

an

=

1

3

又∵a_n＞0，∴{a_n}是以a₁为首项，q=

1

3

为公比的等比数列．
又∵a1•a6=

1

27

解得a₁=3，
∴an=(

1

3

)n-2
（2）解：当(

1

3

)n-2=

1

243

时，n=7，∴

1

243

是等比数列{a_n}中的第7项．

点评：本题考查等比数列的证明，考查等比数列的通项公式，比较基础．