Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：a²_n+1=ta²_n+（t-1）a_na_n+1，其中n∈N^*（1）若a₂-a₁=8，a₃=a且数列{a_n}是唯一的．
①求a的值
②设数列{b_n}满足b_n=

nan

4(2n+1)2n

，是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得b₁、b_m、b_n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：①a²_n+1=ta²_n+（t-1）a_na_n+1，因式分解为（a_n+1+a_n）（a_n+1-ta_n）=0，由于数列{a_n}是各项均为正数的数列，可得a_n+1=ta_n．数列{a_n}是等比数列，公比为t．
利用a₂-a₁=8，a₃=a且数列{a_n}是唯一的．可得8t²-at+a=0，令△=0，（a≠0），即可解出．
②由①可得：an=a3•tn-3=2ⁿ⁺²．b_n=

n

2n+1

，假设存在正整数m、n（1＜m＜n），使得b₁、b_m、b_n成等比数列，则

b

2 m

=b1•bn，即(

m

2m+1

)2=

1

3

×

n

2n+1

，解出即可．

解答： 解：①∵a²_n+1=ta²_n+（t-1）a_na_n+1，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-ta_n）=0，
∵数列{a_n}是各项均为正数的数列，∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1=ta_n．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为t．
∵a₂-a₁=8，a₃=a且数列{a_n}是唯一的．
∴ta₁-a₁=8，a=t²a₁，
化为8t²-at+a=0，
令△=a²-32a=0，（a≠0），
解得a=32．此时t=2．
②由①可得：an=a3•tn-3=32×2^n-3=2ⁿ⁺²．
∴b_n=

nan

4(2n+1)2n

=

n

2n+1

，
假设存在正整数m、n（1＜m＜n），使得b₁、b_m、b_n成等比数列，
则

b

2 m

=b1•bn，
∴(

m

2m+1

)2=

1

3

×

n

2n+1

，
化为6+

3

n

=(2+

1

m

)2，
当m=2时，解得n=12，满足题意，因此m=2，n=12．
当n≥3时，右边≤(2+

1

3

)2=

49

9

，∴6+

3

n

≤

49

9

，解得n＜0，不符合题意，舍去．
因此存在唯一一对正整数m=2，n=12（1＜m＜n），使得b₁、b_m、b_n成等比数列．

点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式、整数的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．