Question

对于数列{a_n}，规定数列{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，规定{△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n，且k∈N^*，k≥2．
（1）已知数列{a_n}的通项公式a_n=

5

2

n²-

13

2

n（n∈N^*）．试证明{△a_n}是等差数列；
（2）若数列{a_n}的首项a₁=-13，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2²ⁿ，（n∈N^*），求数列{

an+1

2n+1

-

an

2n

}及{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断a_n是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性,等差关系的确定,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，△an=[

5

2

(n+1)2-

13

2

(n+1)]-(

5

2

n2-

13

2

n)=5n-4，由此能证明{△a_n}是首项为1，公差为5的等差数列．
（2）由已知得△a_n-a_n=2²ⁿ，a_n+1-a_n-a_n=2²ⁿ，从而得到

an+1

2n+1

-

an

2n

=2n-1，由此利用累加法能求出{a_n}的通项公式．
（3）令x=2^n-1，则f（x）=2x²-15x=2（x-

15

4

）²-

225

8

，再由|2²-

15

4

|＜|23-

15

4

|，能求出n=3时，a_n存在最小值，其最小值为-28．

解答： （1）证明：依题意，△a_n=a_n+1-a_n，
∴△an=[

5

2

(n+1)2-

13

2

(n+1)]-(

5

2

n2-

13

2

n)=5n-4，
∴△a_n+1-△a_n=5，
∵△a₁=a₂-a₁=（

5

2

×2²-

13

2

×2）-（

5

2

-

13

2

）=1，
∴{△a_n}是首项为1，公差为5的等差数列．
（2）解：∵△²a_n-△a_n+1+a_n=-2²ⁿ，（n∈N^*），
∴△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2²ⁿ，
∴△a_n-a_n=2²ⁿ，∴a_n+1-a_n-a_n=2²ⁿ，
∴an+1=2an+22n，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=2n-1，
当n≥2时，

an

2n

=(

a2

22

-

a1

2

)+(

a3

23

-

a2

22

)+(

a4

24

-

a3

23

)+…+(

an

2n

-

an-1

2n-1

)+

a1

2

=20+2+22+…+2n-2+

-13

2

=

2(1-2n-2)

1-2

-

13

2

=2^n-1-

15

2

，
∴an=22n-1-15•2n-1（n≥2，n∈N^*），
当n=1时，a₁=-13也满足上式，
∴an=22n-1-15•2n-1（n∈N^*）．
（3）解：∵an=2•22n-2-15•2^n-1，（n∈N^*），
令x=2^n-1，则f（x）=2x²-15x=2（x-

15

4

）²-

225

8

，
则当x∈(-∞，

15

4

)时，函数f（x）单调递减，当x∈（

15

4

，+∞）时，函数f（x）单调递增，
而|2²-

15

4

|＜|23-

15

4

|，
∴2^n-1=2²，即n=3时，a_n存在最小值，其最小值为-28．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查a_n是否存在最小值的判断与求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．