Question

数列{a_n}中，a1=

1

2

，且(n+1)an+1=

nan

nan+1

（n∈N^*），则数列{a_n}的前2014项的和为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得

1

(n+1)an+1

=

nan+1

nan

=

1

nan

+1，从而

1

(n+1)an+1

-

1

nan

=1，进而数列{

1

nan

}是以2为首项，以1为公差的等差数列，由此求出an=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，从而利用裂项求和法能求出S₂₀₁₄．

解答： 解：∵数列{a_n}中，a1=

1

2

，且(n+1)an+1=

nan

nan+1

（n∈N^*），
∴

1

(n+1)an+1

=

nan+1

nan

=

1

nan

+1，
∴

1

(n+1)an+1

-

1

nan

=1，
∵a1=

1

2

，∴

1

a1

=2，
∴数列{

1

nan

}是以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴

1

nan

=2+（n-1）×1=n+1，
∴an=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₄=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

．
故答案为：

2014

2015

．

点评：本题考查数列的前2014项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用．