Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S_n=n（S_n+1+a_n+1）（n∈N⁺）．
（1）求S_n；
（2）若存在n≥2，使S_n-1λS_n，S_n+1成等差数列，求正整数λ的值．

Answer 1

考点：数列递推式,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得S_n=n（S_n+1+S_n+1-S_n），从而

Sn+1

Sn

=

n+1

2n

，由此利用累乘法能求出S_n=

n

2n-1

．
（2）若存在n≥2，使S_n-1λS_n，S_n+1成等差数列，则λ=

5n-3

4n

=

5

4

-

3

4n

，由λ∈Z，推导出存在λ=1，此时n=3．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S_n=n（S_n+1+a_n+1）（n∈N⁺），
∴S₁=a₁=1，S_n=n（S_n+1+S_n+1-S_n），
∴

Sn+1

Sn

=

n+1

2n

，
∴Sn=S1×

S2

S1

×

S3

S2

×…×

Sn

Sn-1

=1×

2

2×1

×

3

2×2

×

4

2×3

×…×

n

2(n-1)

=

n

2n-1

．
∴S_n=

n

2n-1

．
（2）若存在n≥2，使S_n-1λS_n，S_n+1成等差数列，
则S_n-1+S_n+1=2λS_n，即

n-1

2n-2

+

n+1

2n

=2λ•

n

2n-1

，
∴λ=

5n-3

4n

=

5

4

-

3

4n

，
∵n≥2，∴

7

8

≤λ＜

5

4

，
∵λ∈Z，∴存在λ=1，此时n=3，
∴λ=1．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．