Question

已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，且向量

a

=（tanA，-sinA），

b

=（

1

2

sin2A，cosB），向量

a

，

b

的夹角为θ．
（1）求证：0＜θ＜

π

2

；
（2）求函数f（θ）=2sin²（

π

4

+θ）-

3

cos2θ的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由向量的数量积的坐标表示和同角的基本关系式，结合锐角三角形的定义和正弦函数的单调性，即可得到

a

•

b

＞0，又由向量共线的知识，判断

a

，

b

不共线，进而得证；
（2）运用二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式，化简函数，再由θ的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到最大值．

解答： （1）证明：由向量

a

=（tanA，-sinA），

b

=（

1

2

sin2A，cosB），
则

a

•

b

=

1

2

sin2AtanA-sinAcosB=sinAcosAtanA-sinAcosB=sin²A-sinAcosB
=sinA（sinA-cosB），
由于△ABC为锐角三角形，则A+B＞90°，即有A＞90°-B，
sinA＞sin（90°-B），即sinA＞cosB，
则有

a

•

b

＞0，
且tanAcosB≠-

1

2

sinAsin2A，即

a

，

b

不共线，
则向量

a

，

b

的夹角θ的范围是0＜θ＜

π

2

；
（2）解：函数f（θ）=2sin²（

π

4

+θ）-

3

cos2θ=1-cos2（

π

4

+θ）-

3

cos2θ
=1+sin2θ-

3

cos2θ=1+2（

1

2

sin2θ-

3

2

cos2θ）=1+2sin（2θ-

π

3

），
由0＜θ＜

π

2

，可得-

π

3

＜2θ-

π

3

＜

2π

3

，
则当2θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

12

时，sin（2θ-

π

3

）取得最大值1，
f（θ）取得最大值3．

点评：本题考查向量数量积的坐标表示，主要考查三角函数的化简和求值，运用正弦函数的图象和性质是解题的关键．