Question

已知函数f（x）=

2

x

+alnx-2（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=1时求出f（x），并求f′（x），根据导数的符号即能求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f′（x），根据导数的符号求出f（x）在（0，+∞）上的最小值，让最小值大于2（a-1），得到关于a的不等式，解该不等式，从而求出a的取值范围即可．

解答： 解：（I）a=1时，f（x）=

2

x

+lnx-2，f′(x)=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

；
∴x＞2时，f′（x）＞0，x＜2时，f′（x）＜0；
∴f（x）的单调增区间为[2，+∞），单调减区间为（-∞，2）；
（II）f′（x）=

ax-2

x2

，a＞0；
∴x＞

2

a

时，f′（x）＞0，0＜x＜

2

a

时，f′（x）＜0；
所以x=

2

a

时，f（x）取最小值f（

2

a

）=a+aln

2

a

-2；
因为对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立；
∴a+aln

2

a

-2＞2(a-1)；
∴aln

2

a

＞a；
∴ln

2

a

＞1，

2

a

＞e；
∴0＜a＜

2

e

；
∴a的取值范围为（0，

2

a

）．

点评：考查通过求导数，根据导数的符号判断函数的单调性，以及根据导数符号求函数的最小值的方法，注意正确求导．