Question

【题目】某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE．如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度．某人在扶梯上点P处(异于点C)观察广告牌的视角．当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为．

（1）求扶梯AC的长

（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设，用分别表示出和，利用两角和的正切公式求出，再根据的范围求解出答案；

（2）作且交于点，设，用分别表示出和，利用两角差的正切公式表示出，利用基本不等式求出的最大值，此时即取最大值，利用基本不等式取最值的条件求出，再求出即可.

（1）由题意，为的中点，,所以，

设，则，，

在中，，

在中，，

由两角和的正切公式，，

，所以，解得，或，

因为，所以，，

所以扶梯AC的长为米；

（2）作且交于点，如图所示，

设，则，，由（1）知，，

，，

当取最大值时，即取最大值，

，

当且仅当，即时等式成立，

所以此时.