Question

【题目】已知函数（为自然对数的底，为常数，）有两个极值点，且.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）首先通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题，从而转化成两个函数图像交点问题，再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性，从而画出简图，判断出所求范围；（Ⅱ）首先根据隐含条件消元，将不等式转化为关于的不等式，从而构造函数，建立函数模型，再通过分类讨论该函数的单调性，确定实数的取值范围.

（Ⅰ），由得，

依题意，该方程有两个不同正实数根，记，则，

当时，；当时，，

所以函数在处取得最小值，所以的取值范围是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，且，所以，，所以，

因此恒成立，即恒成立，

即，设，即在上恒成立，

从而，记，， ，

① 当时，，所以，从而，

则在区间上单调递减，所以当时，恒成立；

② 时，等价于，，

所以有两根，且，可以不妨设，

在时成立，所以在区间上单调递增，当时，，即在上不恒成立，

综上，的取值范围是.