Question

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA+bsinB-csinC=bsinA．
（Ⅰ）求∠C的度数；
（Ⅱ）若c=2，求AB边上的高CD的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合正弦定理，余弦定理可得：cosC=$\frac{1}{2}$，又0＜C＜π，即可解得C的值．
（Ⅱ）由已知c=2，CD=$\frac{{S}_{△ABC}}{\frac{1}{2}c}$=$\frac{1}{2}$absinC，结合正弦定理和三角函数恒等变换化简可得CD=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{\sqrt{3}}$$≤\sqrt{3}$，当B=$\frac{π}{3}$时取到等号，从而得解．

解答 解：（Ⅰ）由已知结合正弦定理，余弦定理可得：cos∠C=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，又0＜C＜π，可得C=$\frac{π}{3}$；…7分
（Ⅱ）由已知c=2，因为CD=$\frac{{S}_{△ABC}}{\frac{1}{2}c}$=$\frac{1}{2}$absinC，
结合正弦定理可得：CD=$\frac{1}{2}•\frac{csinA}{sinC}•\frac{csinB}{sinC}•sinC$
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinAsinB
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）sinB
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosBsinB+$\frac{1}{2}$sin²B）
=sin2B+$\frac{1}{\sqrt{3}}$（1-cos2B）
=$\frac{2}{\sqrt{3}}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B-$\frac{1}{2}$cos2B）+$\frac{1}{\sqrt{3}}$
=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{\sqrt{3}}$$≤\sqrt{3}$，当B=$\frac{π}{3}$时取到等号…15分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换等知识的应用，综合性强，属于中档题．